力扣309——最佳买卖股票时机含冷冻期

这道题主要涉及状态转移方程，想清楚所有状态后，就可以轻松解决。

原题

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

1
2
3

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

原题url：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/

解题

暴力解法

一开始我就是想着一共有几种状态，这几种状态分别可以转换为哪些状态：

当前是”持股状态”，可以选择继续不交易，保持”持股状态”，或者选择卖掉之后变成”冷冻状态”；
当前是”冷冻状态”，只能选择继续不交易，变成”不持股状态”；
当前是”不持股状态”，可以选择继续不交易，保持”不持股状态”，或者选择买股票之后变成”持股状态”；

我增加了最后终止条件：如果是最后一天，并且手上持有股票的话，必须卖出，这样可以保证最终利益最大。

接下来看看代码：

class Solution {
    int max = 0;

    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length == 0) {
            return 0;
        }

        recursiveBuy(-1, false, 0, 0, prices);
        return max;
    }

    public void recursiveBuy(
        int prePrice,
        boolean cooldown,
        int profit,
        int index,
        int[] prices) {
        // 如果到了最后一天，并且手上持有股票的话，必须卖掉
        if (index == prices.length - 1) {
            if (prePrice >= 0 && !cooldown) {
                profit = profit + prices[index];
            }
            max = Math.max(max, profit);
            return;
        }

        // 当前持有股票
        if (prePrice >= 0) {
            // 此时可以选择不交易，或者卖掉
            // 不交易
            recursiveBuy(prePrice, cooldown, profit, index + 1, prices);
            // 卖掉
            recursiveBuy(-1, true, profit + prices[index], index + 1, prices);

            return;
        }

        // 当前不持有股票，可以被动不交易、主动不交易、买

        // 如果处于冷冻期，只能被动不交易
        if (cooldown) {
            recursiveBuy(prePrice, false, profit, index + 1, prices);
            return;
        }

        // 不交易
        recursiveBuy(prePrice, cooldown, profit, index + 1, prices);
        // 买
        recursiveBuy(prices[index], cooldown, profit - prices[index], index + 1, prices);
    }
}

报了超出时间限制，好的，我们想想怎么优化。

状态转移方程

上面暴力解法之所以会超时，因为重复计算了。我一开始的想法是想着记录中间结果，但越想越复杂，忍不住看了别人的思路，真的是让我豁然开朗。那就是状态转移方程。

之前我上面提到的是所有状态可以变成哪些状态，但其实有些地方想的是不清楚的。我们用箭头连接两个状态，箭头开始的那端表示前一天的状态，箭头终止的那端表示当天的状态，那么其内容为：

因为买和卖只是两个操作，我们认为只能在每一天的0点执行，当天的状态就由0点之后的状态来表示。

“冷冻期”状态只能是昨天刚买了股票，也就是”不持股”状态转移过来。
“不持股”状态可以由自己，或者昨天是”持股”状态，今天卖掉，转移过来。
“持股”状态可以由自己，或者昨天是”冷冻期”状态，今天买了，转移过来。

你可能会问，如果这样表示状态转移方程的话，那么第一天可以买入股票就没法解释了。那简单，为了配合这种特殊情况，我们再记录一个更早一天的不持股状态，这样就可以满足了。

接下来看看代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length < 2) {
            return 0;
        }

        // 因为每次只涉及到前一天的三个状态值，因此只要三个数字记录即可
        /**
         * 其状态转移方程为：
         * "冷冻期"只能由"不持股"转换而来。
         * "持股"可以由"持股"和"冷冻期"转换而来。
         * "不持股"可以由"不持股"和"持股"转换而来。
         */
         // 定义初始情况
         // 不持股
         int noStock = 0;
         // 持股
         int hasStock = -prices[0];
         // 冷冻期
         int cooldown = 0;
         // 上一次的不持股
         int beforeNoStock = 0;

         for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
                     // "不持股"可以由"不持股"和"持股"转换而来。
             noStock = Math.max(beforeNoStock, hasStock + prices[i]);
                         // "持股"可以由"持股"和"冷冻期"转换而来。
             hasStock = Math.max(hasStock, cooldown - prices[i]);
                         // "冷冻期"只能由"不持股"转换而来。
             cooldown = beforeNoStock;
                         // 更新一下"上一次的不持股"状态
             beforeNoStock = noStock;
         }

         return Math.max(noStock, cooldown);
    }
}

提交OK。

状态转移方程继续优化

其实从上面的分析，你隐约可以察觉到，”冷冻期”就是一种特殊的”不持股”状态。根据上面的结论，当你想买股票时，要求的是必须连续两天”不持股”，这点你想通了吗？可能也正因为这一点，我们在上面的代码中才需要记录”上一次的不持股”状态。

既然这样，我们干脆就简化为持股状态和不持股状态两种，其状态转移方程可以描述为：

持股状态可以由自己，或者连续两天为不持股状态，今天买了股票，转移而来。
不持股状态可以由自己，或者前一天为持股状态，今天卖了股票，转移而来。

因为我们记录的是每一天状态所对应的收入，那么所谓的连续两天为不持股状态，就是相当于从两天前收入不变。

接下来看看代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length < 2) {
            return 0;
        }

        // 这次只有两个状态，但需要记录两天前的不持股收入
        // 定义初始情况
        // 不持股
        int noStock = 0;
        // 持股
        int hasStock = -prices[0];
        // 上一次的不持股
        int beforeNoStock = 0, temp;

        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
                    // 记录一下"两天前的不持股"收入
                    temp = noStock;
            // "不持股"可以由"不持股"和"持股"转换而来。
            noStock = Math.max(noStock, hasStock + prices[i]);
            // "持股"可以由"持股"和"冷冻期"转换而来。
            hasStock = Math.max(hasStock, beforeNoStock - prices[i]);
            // 更新一下"上一次的不持股"状态
            beforeNoStock = temp;
        }
                
                // 最大值一定是最后一天不持股的情况
        return noStock;
    }
}