力扣560——和为K的子数组

这道题主要是找规律，优化的时候可以利用哈希表和数组的特性。

原题

给定一个整数数组和一个整数 k，你需要找到该数组中和为 k 的连续的子数组的个数。

示例 1 :

1 2	输入:nums = [1,1,1], k = 2 输出: 2 , [1,1] 与 [1,1] 为两种不同的情况。

说明 :

数组的长度为 [1, 20,000]。
数组中元素的范围是 [-1000, 1000] ，且整数 k 的范围是 [-1e7, 1e7]。

原题url：https://leetcode-cn.com/problems/subarray-sum-equals-k/

解题

一开始的想法肯定就是利用暴力解法了，三层 for 循环的那种，第1层和第2层选择起点和终点，第3层则是计算起点到终点的总和。这样的想法最简单，但很可惜，直接超时了，让我们稍微优化一下。

子数组之和

因为题目要求子数组下标连续，那么我们想想，如果要求sum(i, j)(也就是从下标 i 到下标 j 的子数组之和)，其实可以转化成sum(0, i - 1) - sum(0, j)。这样的话，就可以把上面的三层for循环优化成两层。

接下来我们直接看看代码：

class Solution {
    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        // sum(i, j) = sum(0, j) - sum(0, i - 1)
        int[] sumArray = new int[nums.length];
        sumArray[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            sumArray[i] = sumArray[i - 1] + nums[i];
        }

        int result = 0;
        int sum = 0;
        for (int i = sumArray.length - 1; i >= 0; i--) {
            // 前i个数之和
            if (sumArray[i] == k) {
                result++;
            }
            // 查询从(j + 1)到i的和
            for (int j = i - 1; j >= 0 && j != i; j--) {
                sum = sumArray[i] - sumArray[j];
                if (sum == k) {
                    result++;
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

提交OK，但时间复杂度是O(n^2)，优化一下。

用哈希表优化

我们想想，上面使用使用第二层for循环，主要是为了查出 sumArray 中是否还存在等于sumArray[i] - k的数，这明显是一个映射关系，因此我们用一个 map 去记录中间的求和结果。

class Solution {
    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        // sum(i, j) = sum(0, j) - sum(0, i - 1)
        // 用map存储，key为sum，value为第i个数
        Map<Integer, List<Integer>> map = new HashMap<>(nums.length * 4 / 3 + 1);
        // 数组求和
        int sum = 0;
        // 记录一共有哪些和
        Set<Integer> sumSet = new HashSet<>();
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
            sumSet.add(sum);
            // 查看当前是否已经记录
            List<Integer> indexList = map.get(sum);
            if (indexList == null) {
                indexList = new LinkedList<>();
            }
            indexList.add(i);
            map.put(sum, indexList);
        }

        int result = 0;
        for (Integer subSum : sumSet) {
            List<Integer> list = map.get(subSum);
            // 如果list为null，说明是被移除了，说明之前已经计算过
            if (list == null) {
                continue;
            }
            if (subSum == k) {
                result += map.get(subSum).size();
            }
            // 剩余的和
            int remainSum = subSum - k;
            List<Integer> remainList = map.get(remainSum);
            // 如果为null，说明不存在
            if (remainList == null) {
                continue;
            }

            // 如果不为null，说明存在，则可以进行配对
            // 让list和remainList进行配对
            for (int index1 : list) {
                for (int index2 : remainList) {
                    if (index1 <= index2) {
                        continue;
                    }

                    result++;
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

提交OK，虽然较之前的方法时间效率上有所提高，但并没有本质区别。特别是最后的双重 for 循环，因为下标只有大的减小的才有意义，这样也就给自己额外增加了运算。

那么反思一下，是否真的有必要提前算好子数组的和？如果一边遍历一边求和，并将求和的结果存入map中，那么 map 中存在的，一定是下标小于自己的求和结果。针对这点，我们可以再做一步优化：

public class Solution {
    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        // 最终结果的数量
        int count = 0;
        // 求和
        int sum = 0;
        // key为中间求出了哪些和，value为当前和有几种情况
        HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        // 和为0有1中情况，就是一个数都不选
        map.put(0, 1);
        // 遍历数组
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 求和
            sum += nums[i];
            // map中是否有记录剩余的值
            if (map.containsKey(sum - k)) {
                // 累加，此处可以直接添加，是因为求和是从前往后进行的，现在能找到的，说明一定是之前的
                count += map.get(sum - k);
            }
            // 记录当前的值
            map.put(sum, map.getOrDefault(sum, 0) + 1);
        }
        return count;
    }
}

提交OK，这样时间复杂度就变为了O(n)。

数据结构的优化

现在，我们用哈希表来存储中间结果。虽然哈希表的查找效率理论上可以达到O(1)，但考虑到哈希冲突，最坏情况下还是有可能达到O(n)。真正能够保证达到O(1)的数据结构，是数组（用空间换取时间）。

那这个用来存储的一维数组究竟长度该设置为多少呢？自然就是找出数组中子数组之和的最大值和最小值，两者求差，结果就是最终的数组长度。利用这个数组去存储子数组求和的结果，这样就能保证在查找时的效率了。

class Solution {
    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        int sum = 0;
        // sum的最小值和最大值，因为可以一个数值都不选，因此0作为初始值
        int min = 0;
        int max = 0;
        // 求和
        for (int n : nums) {
            sum += n;
            min = Math.min(min, sum);
            max = Math.max(max, sum);
        }
        // sums[i]代表从下标为0到下标为i的子数组之和
        // 用一个数组存储，相比于map，取值更快，用空间换取时间
        int[] sums = new int[max - min + 1];
        // 最终结果
        int count = 0;
        sum = 0;
        // 遍历数组
        // 需要重新求和，因为没有类似set这样的结构存储了结果
        for (int n : nums) {
            // 求和
            sum += n;
            // 新的目标值
            int target = sum - min - k;
            // 是否有超过范围
            if (target >= 0 && target < sums.length) {
                count += sums[target];
            }

            sums[sum - min]++;
        }
        // 再加上本身就是k的子数组的数量
        if (k - min >= 0 && k - min < sums.length) {
            count += sums[k - min];
        }
        return count;
    }
}