剑指offer 14——剪绳子

这道题的一般解法是动态规划，优化时可以尝试找规律。

原题

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

1
2
3

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

1
2
3

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 58

原题url：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof

解题

动态规划 DP

我们想想，本题要求是计算 n 被分成 m 份后，相乘最大的结果，这比较明显可以看出是需要求一定要求下的最优解，那么如果能求出局部最优解的话，也能求出方便求出最终最优解。讲白了，就是一个个试，但需要保证需要将所有情况都计算过，且不要重复计算。

那这就要利用动态规划的思想了，从初始情况开始，一步步递推。假设绳子长度为 x ，其最大乘积为 f(x)，则有：

f(2) = 1; (1 * 1)
f(3) = 2; (1 * 2)
f(4) = 4; (2 * 2)
f(5) = 6; (3 * 2)
f(6) = 9; (3 * 3)
f(7) = 12; (3 * 2 * 2 = 3 * f(4))
f(8) = 18; (3 * 3 * 2 = f(6) * 2 = 3 * f(5))

自己先试着写出初始的情况，然后从中找出规律：

长度1、2、3，并没有继续分隔的必要，其作为整体，直接参与计算应该就是最大的数字了。
长度4，分隔成2、2是比较合理的。
当长度越长，被分隔成的数量越多时，其实可以想象成将其中多段合并成1段，最后都是可以当做分隔成2段来计算的。

因此，根据上面总结出来的规律，我们应该是需要从小开始计算，并将中间结果保留，因此可以用一个数组进行存储。

我们来看看代码：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if (n == 2) {
            return 1;
        }
        // 记录计算结果，第2位代表长度为2的绳子，其最大乘积
        int[] result = new int[n + 1];
        result[1] = 1;
        result[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            // 默认初始值就是剪成两段：1 和 i-1，所以最大乘积是 i-1
            result[i] = i - 1;
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                int x = Math.max(result[i - j], i - j);
                int y = Math.max(result[j], j);
                result[i] = Math.max(x * y, result[i]);
            }
        }
        return result[n];
    }
}

提交OK。

数学推导的极致优化

这个解法，我也是看了别人的解析才知道的，通过代码提交发现结论确实是正确的，但其中的推导过程我也没有看懂，看看原文：

接下来我们看看代码：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if (n == 2) {
            return 1;
        }
        if (n == 3) {
            return 2;
        }
        // 可以被3分成几段
        int count = n / 3;
        // 剩余的数字
        int remain = n % 3;
        // 如果没有剩余的
        if (remain == 0) {
            // 直接计算当前的值
            return (int) Math.pow(3, count);
        }
        // 如果剩1，则和原本的一个3，重新拆分成2和2，因为2 * 2 > 3 * 1
        if (remain == 1) {
            return (int) Math.pow(3, count - 1) * 2 * 2;
        }
        // 如果剩2，则正常乘
        return (int) Math.pow(3, count) * 2;
    }
}